Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp giả thiết, ta có:
\(\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự ta được:
\(\dfrac{ac}{\sqrt{b+ac}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+a}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\)
\(\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}\right)\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\sum\dfrac{bc}{\sqrt{a}+bc}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ca}{b+a}+\dfrac{ca}{b+c}\right)-\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
