Question

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương.

Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{12\left(a+b+c\right)}+\sqrt[3]{abc}\)

Ace Legona

Hung nguyen

Answer 1

Ace Legona Bảo bạn c/m chứ không phải bảo bạn lý luận

Lời giải:

Nhân \(12\left(a+b+c\right)\) cho hai vế, ta sẽ được BĐT tương đương là:

\(a^2+b^2+c^2+5\left(ab+bc+ca\right)\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM hai lần ta có ĐPCM:

\(\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge2\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge6\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Answer 2

\(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) là điều hiển nhiên theo AM-GM 3 số:

suy ra cần chứng minh

\(\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{12\left(a+b+c\right)}\ge0\) luôn đúng do a,b,c dương

Bài vậy cx hỏi !