Question

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=1

Tìm GTNN của biểu thức \(Q=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào bài toán , ta có :

\(Q=\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{1^2}=9\) Dấu " = " xảy ra khi : \(\dfrac{1}{a^2+2ab}=\dfrac{1}{b^2+2ac}=\dfrac{1}{c^2+2ab}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow Q_{Min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)