Question

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN của P=\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{2bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{2ca}}\)

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{a+b}{2ab}\ge\dfrac{2}{a+b}\)

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2ab}}\ge\sqrt{\dfrac{2}{a+b}}\)

Tương tự cho 2 hạng tử còn lại , cộng vế theo vế, ta được:

\(P\ge\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)

Sử dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel và Bunyakovsky,ta có:

\(P\ge\sqrt{2}\left(\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)

\(P\ge\sqrt{2}\left(\dfrac{9}{\sqrt{2\left(a+b+c\right).3}}\right)=\sqrt{2}\left(\dfrac{9}{\sqrt{2.3.3}}\right)=3\)

GTNN của P là 3 khi a=b=c=1