Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Nhật Ái

Cho a,b,c > 0:abc=1

Cmr: \(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)

Phương Trâm
15 tháng 8 2017 lúc 21:21

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+1\ge2ab\)

\(\Rightarrow a^2+2ab^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}< \dfrac{1}{2.\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mặt khác:

\(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}=\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\dfrac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\Rightarrow\) Đpcm.

Phương An
15 tháng 8 2017 lúc 21:24

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(a^2+2b^2+3\)

\(=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)

\(\ge2ab+2b+2\)

Tương tự, ta có: \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\)\(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)

\(VT=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)

\(\le\dfrac{1}{2ab+2b+2}+\dfrac{1}{2bc+2c+2}+\dfrac{1}{2ac+2a+2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{abc}{bc+c+abc}+\dfrac{abc}{ac+a^2bc+abc}\right)\) (Thay abc = 1)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{b+1+ab}+\dfrac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+ab+b}{ab+b+1}\)

\(=\dfrac{1}{2}=VP\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1


Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
kyqy
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Thắng
Xem chi tiết
byun aegi park
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Đức Anh Gamer
Xem chi tiết
Nguyễn Thái Sơn
Xem chi tiết
Nguyễn Tiểu Hạ
Xem chi tiết