Question

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3. Tìm MIN của P = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Mọi người giúp em giải thích thích cặn kẽ với ạ, em cảm ơn.

Answer 1

Cách số 1: Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(a+b+c)\geq (1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow P.3\geq 9\Leftrightarrow P\geq 3\)

Vậy GTNN của $P$ là $3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Answer 2

Cách số 2: Áp dụng BĐT Cô-si dạng $x^2+y^2\geq 2xy$. Lưu ý để cho dấu "=" xảy ra thì $x=y$

Ở đây, ta đoán được dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ nên ta áp dụng BĐT Cô-si như sau:

$\frac{1}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.a}=2$

$\frac{1}{b}+b\geq 2$

$\frac{1}{c}+c\geq 2$

Cộng theo vế suy ra: $P+(a+b+c)\geq 6$

$\Leftrightarrow P+3\geq 6$

$\Leftrightarrow P\geq 3$

Vậy $P_{\min}=3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Answer 3

Ta cần chứng minh: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{b}\cdot\frac{b}{c}}=3+2+2+2=9\)(Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\a=b=c=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P_{MIN}=3\) khi \(a=c=b=1\)