Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
🍀Cố lên!!🍀

Cho a,b,c >0 và \(a+b+c=1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{a}{4-3a}+\dfrac{b}{4-3b}+\dfrac{c}{4-3c}\)

An Thy
3 tháng 7 2021 lúc 17:43

\(P=\dfrac{a}{4-3a}+\dfrac{b}{4-3b}+\dfrac{c}{4-3c}=\dfrac{a^2}{4a-3a^2}+\dfrac{b^2}{4b-3b^2}+\dfrac{c^2}{4c-3c^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

\(=\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le4-\left(a+b+c\right)^2=4-1=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4-3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

missing you =
3 tháng 7 2021 lúc 18:01

Casch2:đặt \(\left\{{}\begin{matrix}4-3a=x\\4-3b=y\\4-3c=z\end{matrix}\right.\)\(=>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4-x}{3}\\b=\dfrac{4-y}{3}\\c=\dfrac{4-z}{3}\end{matrix}\right.\)\(x+y+z=9\)

\(=>P=\dfrac{4-x}{3x}+\dfrac{4-y}{3y}+\dfrac{4-z}{3z}=\dfrac{4}{3x}+\dfrac{4}{3y}+\dfrac{4}{3z}-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)\)

\(=\dfrac{\left(2+2+2\right)^2}{3.9}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}\)

dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=3<=>a=b=c=1/3

 


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
le diep
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Chí Thành
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Edowa Conan
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
T.Huyền
Xem chi tiết