Question

Cho a,b,c >0 và \(a^2+b^2+c^2=3\)

\(cmr:\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^3+2}\le\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{a^3+2}+\dfrac{1}{b^3+2}+\dfrac{1}{c^3+2}\ge1\end{matrix}\right.\)

Answer 1

a) Câu này biến đổi tương đương

b)

Ta có : \(a^2\left(a-1\right)^2\left(2+a\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(3a-a^3-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow3a^3+6-a^5-2a^2\le6\Leftrightarrow\left(3-a^2\right)\left(a^3+2\right)\le6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3+2}\ge\dfrac{3-a^2}{6}\)

Tương tự với b , c ta có :

\(\sum\left(\dfrac{1}{a^3+2}\right)\ge\sum\left(\dfrac{3-a^2}{6}\right)=\dfrac{9-\sum a^2}{6}=1\)