Question

Cho a,b,c >0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1

Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\le2.\)

Answer 1

Đặt VT= \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\right)^2\le\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)\)

Lại có \(ab+bc+ca\le\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( tự cm nhé)

Từ đó \(VT^2\le3.\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=4\) (do a+b+c=1)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)