Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Song Lam Diệp

cho a,b,c >0. chứng minh:\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)

ngonhuminh
19 tháng 5 2018 lúc 20:35

qua vo van

 Mashiro Shiina
19 tháng 5 2018 lúc 22:37

Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1

\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)

Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)

Isolde Moria
19 tháng 5 2018 lúc 22:11

Nhận xét :

Nhìn vào bất đẳng thức dễ thấy ở phần tử các aanrr đều ở bậc 2 còn mẫu thì lại bậc 1 nên cần điều kiện rõ ràng hơn cho a,b và c

Tử số của các phân tử luôn dương , với điều kiện a,b,c > 0 thì mẫu rõ ràng có thể nhận giá trị âm khiên cả biểu thức bé hơn không ( mâu thuẫn đề ra ). Ví dụ khi a=b=c=\(\dfrac{1}{2}\)

=> VT \(=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}\left(4a^2+5b^2+6c^2\right)=-2\left(4a^2+5b^2+6c^2\right)< 0\)(1)

Mà VT \(\ge48\)(2)

Thấy (1) và (2) mâu thuẫn

=> Đề sai hoặc thiểu điều kiện cho a,b và c

 Mashiro Shiina
19 tháng 5 2018 lúc 22:17

Sửa đề thành \(a;b;c>1\) . Có thể làm được. Còn nếu a;b;c>0 sai ngay với \(0< a;b;c< 1\)

Xà Nữ
20 tháng 5 2018 lúc 14:55

Điều kiện : a,b,c khác 1: ta có: x² - 4x + 4 ≥ 0
=> x² ≥ 4.(x - 1)
=> x²\(x-1) ≥ 4
=> 4a²\(a-1) + 5b²\(b-1) + 3c²\(c-1) ≥ 4.4 + 5.4 + 3.4 = 48


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
lâm
Xem chi tiết
Toankhowatroi
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết