Câu hỏi của Tiểu Thư Ma Kết

Question

Cho a,b>0 và a+b=1

cm $a^2$+$b^2$ >$\dfrac{1}{2}$

Hà Linh · Accepted Answer

Đề sai rồi kìa, phải là CMR $a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}$ chứ :v

Với mọi a và b lớn hơn 0, ta có:

$\left(a-b\right)^2\ge0$

$a^2-2ab+b^2\ge0$

$a^2+b^2\ge2ab$

$a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+2ab+b^2$

$2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$2\left(a^2+b^2\right)\ge1$ ( do a + b = 1 )

$a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}$ ( đpcm )Câu trả lời: Đề sai rồi kìa, phải là CMR $a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}$ chứ :v

Với mọi a và b lớn hơn 0, ta có:

$\left(a-b\right)^2\ge0$

$a^2-2ab+b^2\ge0$

$a^2+b^2\ge2ab$

$a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+2ab+b^2$

$2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$2\left(a^2+b^2\right)\ge1$ ( do a + b = 1 )

$a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}$ ( đpcm )

Nguyễn Huy Tú · Answer

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel có:

$a^2+b^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

Dấu " = " khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Vậy...Câu trả lời: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel có:

$a^2+b^2=\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

Dấu " = " khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Vậy...

Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số