Câu hỏi của Lương Ngọc Anh

Question

cho a,b>=0  và a2+b2=4tìm max P=$\frac{ab}{a+b+2}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Xét $\frac{1}{P}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{ab}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$4=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\leq 2\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq 1$

Theo Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}=\sqrt{2}$

Do đó $\frac{1}{P}\geq 1+\sqrt{2}\Leftrightarrow P\leq \sqrt{2}-1$

Vậy $P_{\max}=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow (a,b)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$Câu trả lời: Lời giải:

Xét $\frac{1}{P}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{ab}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$4=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\leq 2\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq 1$

Theo Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{\sqrt{2(a^2+b^2)}}=\sqrt{2}$

Do đó $\frac{1}{P}\geq 1+\sqrt{2}\Leftrightarrow P\leq \sqrt{2}-1$

Vậy $P_{\max}=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow (a,b)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH