Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cuby Thuri


Cho a,b>0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{2020}{a+b}+\frac{a}{b+2019}+\frac{b}{4039}+\frac{2019}{a+2020}\)

Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 6 2020 lúc 18:19

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2020=c\\2019=d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+d}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+c}=\frac{c^2}{ac+bc}+\frac{a^2}{ab+ad}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{ad+cd}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ac+ab+bd+cd+2ad+2bc}=\frac{\left(a+d+b+c\right)^2}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)+2ad+2bc}\)

\(P\ge\frac{\left(a+d\right)^2+\left(b+c\right)^2+2\left(a+d\right)\left(b+c\right)}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)+2ad+2bc}\ge\frac{4ad+4bc+2\left(a+d\right)\left(b+c\right)}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)+2ad+2bc}=2\)

\(P_{min}=2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=d\\b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2019\\b=2020\end{matrix}\right.\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Ngân
Xem chi tiết
Trần Quý
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết
Võ Đức Tân
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
Phạm Ngọc Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Nguyễn Võ Văn Hùng
Xem chi tiết