\(a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=\left(8a+8a+\frac{1}{a^2}\right)+\left(8b+8b+\frac{1}{b^2}\right)-15\left(a+b\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{8a.8a.\frac{1}{a^2}}+3\sqrt[3]{8b.8b.\frac{1}{b^2}}-15\left(a+b\right)\)
\(=12+12-15\left(a+b\right)\ge24-15=9\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng .
a, Chứng minh rằng: |a+b| ≤ \(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) với mọi a, b
b, Tìm x biết: \(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\) > 0
B1 Cho biểu thức A=\(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3}{x+2\sqrt{x}+4}-\frac{\sqrt{x}+7}{x\sqrt{x}-8}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+7}{x+2\sqrt{x}+4}\right)\)
1, Rút gọn A. Tìm x sao cho A<2
2, Cho 1≤a,b,c≤2. Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)
Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\)
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
Cho 3 số dương a,b,c và a+b+c\(\le\frac{3}{2}\). Chưng minh rằng
\(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{15}{2}\)
Cho a, b > 0 và ab > 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\) ≥ \(\frac{2}{1+ab}\)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 thì:
\(a+b+c+2=abc\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1\)
cho a,b,c khác 0 thỏa \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Với a,b > 0 chứng minh: \(\frac{1}{a+b}\) ≤ \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Dấu = xảy ra khi nào ?
