Question

Cho a,b là hai số thực bất kì, chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình ẩn x sau vô nghiệm

x² +2ax+ 2a² - b² +1 =0 (1)

x² +2bx+ 3b² - ab =0

Answer 1

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử cả 2 phương trình đã cho đều có nghiệm. Điều này xảy ra

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\Delta'_1)=a^2-(2a^2-b^2+1)\geq 0\\ (\Delta'_2)=b^2-(3b^2-ab)\geq 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2\geq a^2+1\\ ab\geq 2b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow ab-b^2\geq a^2+1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab+1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\leq -1< 0\) (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai. Tức là ít nhất 1 trong 2 pt đã cho vô nghiệm.