Question

Cho a,b là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn \(2a^2+a=3b^2+b\) .

Chứng minh \(\dfrac{a-b}{2a+2b+1}\) là phân số tối giản

Answer 1

Ta có \(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2a^2+a-3b^2-b=0\Leftrightarrow2a^2+2ab+a-2ab-2b^2-b=b^2\Leftrightarrow a\left(2a+2b+1\right)-b\left(2a+2b+1\right)=b^2\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi (a-b,2a+2b+1)=d\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮d\\\left(2a+2b+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+ab+1\right)⋮d^2\)\(\Rightarrow b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)

Mà (a-b)\(⋮d\)

Suy ra a\(⋮d\Rightarrow2a+2b⋮d\)

Mà (2a+2b+1)\(⋮d\)

Suy ra \(1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

Vậy (a-b,2a+2b+1)=1\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{2a+2b+1}\) là phân số tối giản