Ta có:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
Áp dụng bất đẳng thức:\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=\dfrac{4}{1^2}=4\) ( vì a + b = 1)
Áp dụng bất đẳng thức \(4xy\le\left(x+y\right)^2\) ta có:
\(4ab\le\left(a+b\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{4ab}\ge\dfrac{2}{1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
Khi đó:
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge4+2=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = \(\dfrac{1}{2}\)
