Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ZoZ - Kudo vs Conan - Zo...

Cho a , b , c > 0 . CMR : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

Phùng Khánh Linh
22 tháng 7 2018 lúc 22:05

Ta có BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)\(\dfrac{4}{a+b}\) ( \(a,b>0\) )

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{4}{b+c}\left(b;c>0\right)\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{4}{a+c}\left(a;c>0\right)\)

Cộng từng vế của các BĐT trên , ta có :

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\text{≥}\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{a+c}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\text{≥}\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+c}\)

EDOGAWA CONAN
22 tháng 7 2018 lúc 22:06

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

\(\Rightarrowđpcm\)



Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Neet
Xem chi tiết
Kresol♪
Xem chi tiết
Xem chi tiết
ZoZ - Kudo vs Conan - Zo...
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Thịnh
Xem chi tiết
Hong Ra On
Xem chi tiết
Anh Tú Dương
Xem chi tiết