Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Tú Dương

Cho a, b, c>0 tm: a+b+c≥\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\). CMR: a+b+c≥\(\dfrac{3}{abc}\)

Akai Haruma
27 tháng 9 2018 lúc 21:51

Lời giải:

Từ \(a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{ab+bc+ac}{abc}\Rightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq (ab+bc+ac)^2(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c\)

\(b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2\)

\(a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc\)

Cộng theo vế, rút gọn \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)

\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq 3abc(a+b+c)\)

\(\Rightarrow abc(a+b+c)\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Đức Thịnh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Việt
Xem chi tiết
ZoZ - Kudo vs Conan - Zo...
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Phương Thảo
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết
Xem chi tiết