Ta có:\(\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)
=>\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)
Do đó:
\(a^3+b^3+c^3=3ab\)
=>\(a^3+b^3+c^3-3ab=0\)
=>\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab=0\)
=>\(\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right).c+c^2-3ab\left(a+b+c\right)\right]=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\right]=0\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]=0\)
Do a,b,c đôi một khác nhau nên a-b\(\ne\)0, a-c\(\ne\)0, b-c\(\ne\)0
=>\(\left(a-b\right)^2>0;\left(a-c\right)^2>0;\left(b-c\right)^2>0\)
Suy ra: a+b+c=0 +>Điều phải chứng minh
Sửa đề lại nhé bạn :3
Ta có :
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
Xét thừa số : \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc-c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Nhưng theo đề bài \(a;b;c\) là đôi một khác nhau nên điều này ko xảy ra .
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\) (đpcm )
Chúc bạn học tốt
