Giả sử tồn tại a (mặc dù trên thực tế không tồn tại a trong tập số thực) để \(a^2+a+1=0\Rightarrow a^2+1=-a\Rightarrow a+\frac{1}{a}=-1\)
Đặt \(a_n=a^n+\frac{1}{a^n}\) \(\Rightarrow a_0=2\)
\(a_1=a+\frac{1}{a}=-1\) ; \(a_2=a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2=-1\)
Xét \(a_1a_n=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)=a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}+a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\)
\(\Rightarrow a_1a_n=a_{n+1}+a_{n-1}\)
\(\Rightarrow a_{n-1}+a_n+a_{n+1}=0\)
\(\Rightarrow a_{n-2}+a_{n-1}+a_n=0\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=a_{n-2}\Rightarrow a_n=a_{n-3}\Rightarrow a_n=a_{n-3k}\)
\(\Rightarrow P=a_{2010}=a_{2010-3.670}=a_0=2\)
