Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Mai

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a+b+ab=3. Chứng minh:

\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\le1\)

Akai Haruma
30 tháng 6 2020 lúc 21:59

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$3=a+b+ab\leq a+b+\frac{(a+b)^2}{4}$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a+b+6)\geq 0$

$\Rightarrow a+b\geq 2$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{3a}{b+3}+\frac{3b}{a+3}+\frac{3ab}{a+b}\leq 3\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab}{b+3}+b-\frac{ab}{a+3}+\frac{3ab}{a+b}\leq a+b+ab\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{ab}{a+3}+\frac{ab}{b+3}\geq \frac{3ab}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow 1+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}\geq \frac{3}{a+b}(*)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(1+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}\geq \frac{36}{22+a+b}\)

\(\geq \frac{36}{11(a+b)+(a+b)}=\frac{3}{a+b}\)

BĐT $(*)$ đc chứng minh. Bài toán hoàn tất

Dấu "=" xảy r akhi $a=b=1$


Các câu hỏi tương tự
người bị ghét :((
Xem chi tiết
người bị ghét :((
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
Icarus Chune
Xem chi tiết
Luân Đào
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết