Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}>=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\), ta có:

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng thế vế thứ 3 bất đắng thức , ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)

Vậy HĐT sảy ra khi a=b=c

CHÚC BẠN HỌC TỐT