Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

a. Chứng minh \(\left(b-c\right)^2< a^2\)

b. Từ đó suy ra : \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 1

a)Ta có BĐT tam giác :

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[a+\left(b+c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)

\(\Rightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>0\Rightarrow a^2>\left(b-c\right)^2\)

b)Áp dụng BĐT ở câu a ta có:

\(a^2+b^2+c^2>\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2>b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac+a^2+b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca>2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca>a^2+b^2+c^2\)