Question

Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:

\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(a^2-b=b^2-c=c^2-a\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-b-b^2+c=0\\ b^2-c-c^2+a=0\\ c^2-a-a^2+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-b^2=b-c\\ b^2-c^2=c-a\\ c^2-a^2=a-b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)=(b-c)(c-a)(a-b)\) (nhân cả ba vế với nhau)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)[(a+b)(b+c)(c+a)-1]=0\)

Vì $a,b,c$ đôi một khác nhau nên \((a-b)(b-c)(c-a)\neq 0\)

Do đó:

\((a+b)(b+c)(c+a)-1=0\Leftrightarrow P=(a+b)(b+c)(c+a)=1\)