Dùng BĐT phụ : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ; \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\); \(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2=\left(8abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(dpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức Cô si với các số không âm \(a,b,c\) ta được
\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge 2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge 2\sqrt{ac}\)
Nhân các vế của 3 BĐT ta được:
\( (a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\to a=b=c\)
Cho a b c là các số không ấm chứng minh rằng (a+b) (b+c) (c+a) >_ 8abc
