Question

Cho a; b; c; d là các số nguyên dương thỏa mãn a+b+c=2017

Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên

\(A=\dfrac{a}{2017-c}+\dfrac{b}{2017-a}+\dfrac{c}{2017-b}\)

Answer 1

\(a+b+c=2017\Rightarrow A=\dfrac{a}{a+b+c-c}+\dfrac{b}{a+b+c-b}+\dfrac{c}{a+b+c-a}\)

\(A=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}< \dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\left(1\right)\)

\(A>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow A>1\left(2\right)\)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< A< 2\)

vay A \(\notin Z\)

Answer 2

https://i.imgur.com/sA0gxtu.jpg

Answer 3

https://i.imgur.com/mJBbOOj.jpg