Question

Cho a , b , c > 0 ; a + b + c = 3 . Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{1+b^2}\) + \(\dfrac{b}{1+c^2}\) + \(\dfrac{c}{1+a^a}\) \(\ge\) \(\dfrac{3}{2}\)

Giúp mk vs

Answer 1

ta thấy:\(\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)

> áp dụng bđt cosi: 1+b²>=2b

>\(a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

cminh tương tự với \(\dfrac{b}{1+c^2};\dfrac{c}{1+b^2}\)

cộng lần lượt 2 vế ta vừa cminh

>bthức tương đương với: a+b+c-\(\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\) đpcminh

(vì (a+b+c)²>=3(ab+bc+ca) hay 3²>=3(ab+bc+ca)

> ab+bc+ca<=3)