Question

Cho a, b > 0 thoả mãn: a² + b² = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2a + 2b + \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\)

Answer 1

\(Q=2\left(a+b\right)+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}{4}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\)

\(Q=\frac{a^3+a^3+8}{8}+\frac{b^3+b^3+8}{8}+\frac{a^2b}{4}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2a}{4}+\frac{b^2}{a}-2\)

\(Q\ge\frac{3\sqrt[3]{8a^6}}{8}+\frac{3\sqrt[3]{8b^6}}{8}+2\sqrt{\frac{a^4b}{4a}}+2\sqrt{\frac{b^4a}{4a}}-2\)

\(Q\ge\frac{3}{4}\left(a^2+b^2\right)+a^2+b^2-2=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)