Question

Cho a , b > 0 . C/m:

\(\dfrac{a^3+b^3}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)

Answer 1

\(\dfrac{a^3+b^3}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)

Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)>\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)

Áp dụng BĐT cô - si ta có:

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3\cdot a^3\cdot b^3}=3a^2b\)

Tương tự: \(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\)

Cộng các vế 2 bđt trên ta được:

\(3a^3+3b^2\ge3a^2b+3ab^2\)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

Dấu ''='' xảy ra khi a = b