a/ Ta có :
\(A=4+4^2+.....+4^{23}+4^{24}\)
\(=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+....+\left(4^{23}+4^{24}\right)\) (12 nhóm)
\(=4\left(4+4^2\right)+4^3\left(4+4^2\right)+.......+4^{23}\left(4+4^2\right)\)
\(=4.20+4^3.20+.....+4^{23}.20\)
\(=20\left(4+4^3+...+4^{23}\right)⋮20\)
\(\Leftrightarrow A⋮20\left(đpcm\right)\)
b/ Ta có :
\(A=4+4^2+4^3+........+4^{23}+4^{24}\)
\(=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+.......+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\)
\(=4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+....+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\)
\(=4.21+4^4.21+....+4^{22}.21\)
\(=21\left(4+4^4+......+4^{22}\right)⋮21\)
\(\Leftrightarrow A⋮21\left(đpcm\right)\)
*A chia hết cho 20 : A có 24 lũy thừa.
Trước hết ta thấy rõ A chia hết cho 4 vì từng số hang của dãy số A chia hết cho 4
A có 24 lũy thừa nên ta chia thành 12 cặp lũy thừa
A = (4+4^2) + (4^3+4^4) + ...+ (4^23+4^24)
A = 4.(1+4) + 4^3.(1+4) + ...+ 4^23.(1+4)
A = 4.5 + 4^3.5 + .....+ 4^23.5
vậy A chia hết cho 5 và 4 nên A chia hết cho 20
*A chia hết cho 21 : A có 24 lũy thừa
Nhóm thành mỗi nhóm 3 lũy thừa ta được 8 nhóm lũy thừa
A = 4.(1+4+4^2) + ......+ 4^22.(1+4+4^2)
A = 4.21 + ......+4^22.21 => A chia hết 21
Vậy A chia hết cho 21.
*A chia hết cho 420 .
Ta có : A chia hết cho 20 và 21 mà 20 và 21 là nguyên tố cùng nhau nên
A chia hết cho 20.21 = 420 (Áp dụng: Một số đồng thời chia hết cho cả m và n. m và n đồng thời chỉ chia hết cho 1 và chính nó thì số đó chia hết cho tích mxn)
Vậy A chia hết cho 420 .
a. Ta có:
A = 4 + 4 + 4 +......+ 4 + 4
A = \(\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+......+\left(4^{23}+4^{24}\right)\)
A = \(4\left(4+4^2\right)+4^3\left(4+4^2\right)+......+4^{23}\left(4+4^2\right)\)
A = \(4.20+4^3.20+......+4^{23}.20\)
A = \(20\left(4+4^3+......+4^{23}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) A \(⋮\) \(20\) (đpcm)
b. Ta có:
A = \(4+4^2+4^3+......+4^{23}+4^{24}\)
A = \(\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+......+\left(4^{22}+4^{23}+4^{24}\right)\)
A = \(4\left(1+4+4^2\right)+4^4\left(1+4+4^2\right)+......+4^{22}\left(1+4+4^2\right)\)
A = \(4.21+4^4.21+......+4^{22}.21\)
A = \(21\left(4+4^4+......+4^{22}\right)\)
\(\Leftrightarrow\) A \(⋮\) \(21\) (đpcm)
c. Ta có:
Vì A \(⋮\) \(20\) và A \(⋮\) 21
\(\Rightarrow\) A \(⋮\) \(\left(20.21\right)\)
\(\Rightarrow\) A \(⋮\) \(420\) (đpcm)
