Question

Cho a > 0; c > 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\) Chứng minh: \(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)

Answer 1

\(\frac{a+c}{ac}=\frac{2}{b}\) => \(b=\frac{2ac}{a+c}\) thay vào BĐT cần chứng minh, ta được:

\(\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{a^2+3ac}{2a^2}+\frac{c^2+3ac}{2c^2}\)

\(=\frac{2a^2c^2+3a^3c+3ac^3}{2a^2c^2}\ge4\)

<=> 3a³c-6a²c²+3ac³ ≥ 0

<=> 3ac(a-c)² ≥ 0 luôn đúng ∀ a,c > 0

Vậy BĐT được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c; b≠0