Question

Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 độ

Answer 1

Kẻ 9 đường thẳng song song các đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm O, gọi các đường thẳng đó là a₁; a₂; a₃; a₄; a₅; a₆; a₇; a₈; a₉.

Giả sử không có 2 đường thẳng nào mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20^o => \(\widehat{a_1Oa_2};\widehat{a_2Oa_3};\widehat{a_3Oa_4};\widehat{a_4Oa_5};\widehat{a_5Oa_6};\widehat{a_6Oa_7};\widehat{a_7Oa_8};\widehat{a_8Oa_9};\widehat{a_9Oa_1}\) đều nhỏ hơn 20^o

=> \(\widehat{a_1Oa_2}+\widehat{a_2Oa_3}+\widehat{a_3Oa_4}+\widehat{a_4Oa_5}+\widehat{a_5Oa_6}+\widehat{a_6Oa_7}+\widehat{a_7Oa_8}+\widehat{a_8Oa_9}+\widehat{a_9Oa_1}< 9.20^o=180^o\)(vô lý)

=> trong 9 đường thẳng bất kì, có ít nhất 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20^o

Answer 2

Gọi 9 đường thẳng đã cho là \(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6,d_7,d_8,d_9\).

Qua một điểm \(O\) bất kì, vẽ \(9\) đường thẳng \(d'_1,d'_2,d'_3,d'_4,d'_5,d'_6,d'_7,d'_8,d'_9\) tương ứng song song với \(9\) đường thẳng đã cho.

Trong 9 đường thẳng \(d'_1,d'_2,d'_3,d'_4,d'_5,d'_6,d'_7,d'_8,d_9\) trên, theo tiên đề Oclit, sẽ không có hai đường thẳng nào trùng nhau, nên có \(18\) góc đỉnh \(O\) không có điểm trong chung và có tổng là \(360^{^0}\)

Như vậy, sẽ luôn tồn tại một góc không nhỏ hơn \(360^0:18=20^0\) , góc này có cạnh tương ứng song song cùng chiều với \(1\) góc tạo bởi \(2\) trong \(9\) đường thẳng đã cho ban đầu.

Vậy, ta được điều phải chứng minh.