Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tuyển Trần Thị

cho \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)+2017\)

tìm max \(\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

Lightning Farron
17 tháng 11 2017 lúc 0:23

Từ \(7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=6\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+2017\)

\(\Leftrightarrow7\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\le6\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+2017\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\le2017\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(T=\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2a^2+b^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2b^2+c^2\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(2+1\right)\left(2c^2+a^2\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{1^2}{b}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2b}+\dfrac{1^2}{c}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2^2}{2c}+\dfrac{1^2}{a}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)\(=\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}\le\sqrt{\left(\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{81}\right)\left(\dfrac{9}{a^2}+\dfrac{9}{b^2}+\dfrac{9}{c^2}\right)}\)

\(\le\sqrt{\dfrac{1}{81}\cdot3\cdot9\cdot2017}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\)

Vậy \(T_{Max}=\sqrt{\dfrac{2017}{3}}\) khi \(a=b=c=\sqrt{\dfrac{3}{2017}}\)

So kimochiii~


Các câu hỏi tương tự
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Cô Pê
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết