Lời giải:
Bổ sung điều kiện $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$
Ta có:
ĐKĐB $\Rightarrow \int ^1_04f(x)dx+\int ^1_03f(1-x)dx=\int ^1_0\sqrt{1-x}dx$
$\Leftrightarrow 4\int ^1_0f(x)dx+3\int ^1_0f(1-x)dx=\frac{2}{3}$
Mà:
$\int ^1_0f(1-x)dx=-\int ^1_0f(1-x)d(1-x)=-\int ^0_1f(x)dx=\int ^1_0f(x)dx$
Do đó:
$7\int ^1_0f(x)dx=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \int ^1_0f(x)dx=\frac{2}{21}$
4.Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn \(\int_{-1}^1f\left(x\right)dx\)=2. Khi đó giá trị tích phân \(\int_0^1f\left(x\right)dx\) là : A.1 B.2 C.\(\frac{1}{4}\) D.\(\frac{1}{2}\)
5.Cho f(x) liên tục trên [0;10] thỏa mãn \(\int_0^{10}f\left(x\right)dx=7\), \(\int_2^6f\left(x\right)dx=3\). Khi đó giá trị của P = \(\int_0^2f\left(x\right)dx+\int_6^{10}f\left(x\right)dx\) có giá trị là: A.1 B.2 C.4 D.3
6.Cho hình phẳng S giới hạn bởi Ox và y =\(\sqrt{1-x^2}\). Thể tích của khối tròn xoay khi quay S quanh Ox là: A.\(\frac{3}{2}\pi\) B.\(\frac{3}{4}\pi\) C.\(\frac{4}{3}\pi\) D.\(\frac{2}{3}\pi\)
7.Tính tích phân I = \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2x}{\sin3x}dx\) ta được kết quả I = \(\frac{1}{a}ln\left|b+\sqrt{3c}\right|\) với a, b, c \(\in Z\). Giá trị của a + 2b + 3c là: A.5 B.2 C.8 D.3
8.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = \(\frac{1}{2x-1}\), f(1)=1 thì f(5) có giá trị bằng: A.ln2 B.ln2 + 1 C.ln3 D.ln3 + 1
Tính :
a) \(\int\left(2-x\right)\sin xdx\)
b) \(\int\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}dx\)
c) \(\int\dfrac{3^{3x}+1}{e^x+1}dx\)
d) \(\int\dfrac{1}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}dx\)
e) \(\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)
g) \(\int\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(2-x\right)}dx\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\left[0;2\right]\), thỏa mãn các điều kiện f(2) = 1 và \(\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{2}{3}\) Giá trị của f(1) bằng
Tính :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos2x.\sin^2dx\)
b) \(\int\limits^1_{-1}\left|2^x-2^{-x}\right|dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x^2}dx\)
d) \(\int\limits^2_0\dfrac{1}{x^2-2x-3}dx\)
e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+\cos x\right)^2dx\)
g) \(\int\limits^{\pi}_0\left(x+\sin x\right)^2dx\)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn: xf'(x).lnx + f(x) = 2x2, ∀x ∈ (1;+∞) và f(e) = e2. Tính tích phân I=\(\int\limits^{e^2}_e\dfrac{x}{f\left(x\right)}dx\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(\int\left(2x-3\right)\sqrt{x-3}dx\), đặt \(u=\sqrt{x-3}\)
b) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) , đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\)
c) \(\int\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx\), đặt \(u=e^{2x}+1\)
d) \(\int\dfrac{1}{\sin x-\sin a}dx\)
e) \(\int\sqrt{x}\sin\sqrt{x}dx,\) đặt \(t=\sqrt{x}\)
g) \(\int x\ln\dfrac{x}{1+x}dx\)
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^1_0\left(y-1\right)^2\sqrt{y}dy\), đặt \(t=\sqrt{y}\)
b) \(\int\limits^2_1\left(x^2+1\right)\sqrt[3]{\left(z-1\right)^2}dz\), đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\)
c) \(\int\limits^e_1\dfrac{\sqrt{4+5\ln x}}{x}dx\)
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\cos^5\varphi-\sin^5\varphi\right)d\varphi\)
e) \(\int\limits^{\pi}_0\cos^3\alpha\cos3\alpha d\alpha\)
Cho hàm số f(x) liên tục và cố đạo hàm trong khỏang (0;1).
Biết (f'(x))2 + 4(6x2-1)f(x) = 40x6 -44x4+32x2-4 Và f(1) = 1.
Tính \(\int_0^1xf\left(x\right)dx\)
Tính các tích phân sau :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\cos2x.\cos^2xdx\)
b) \(\int\limits^1_{\dfrac{1}{2}}\dfrac{e^x}{e^{2x}-1}dx\)
c) \(\int\limits^1_0\dfrac{x+2}{x^2+2x+1}\ln\left(x+1\right)dx\)
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{x\sin x+\left(x+1\right)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx\)
