Question

Cho 4 số nguyên a, b, c,d thỏa mãn

\(a+b=c+d\)

\(ab+1=cd\)

CM: \(c=d\)

Answer 1

Lời giải:

Có: \(\left\{\begin{matrix} a+b=c+d\\ ab+1=cd\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=(c+d)^2\\ 4ab+4=4cd\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a+b)^2-(4ab+4)=(c+d)^2-4cd\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2-4=(c-d)^2\)

\(\Leftrightarrow [(a-b)-(c-d)][(a-b)+(c-d)]=4\)

Vì $a,b,c,d$ nguyên nên $(a-b)-(c-d); (a-b)+(c-d)$ cũng là số nguyên

Mà $[(a-b)-(c-d)]-[(a-b)+(c-d)]=-2(c-d)$ chẵn nên $(a-b)-(c-d); (a-b)+(c-d)$ có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó \(\left[\begin{matrix} (a-b)-(c-d)=(a-b)+(c-d)=2\\ (a-b)-(c-d)=(a-b)+(c-d)=-2\end{matrix}\right.\)

Cả 2 TH thì đều suy ra \(2(c-d)=0\Rightarrow c=d\) (đpcm)