Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{1+a}+\frac{21}{21+2b}\le\frac{4c}{4c+27}\). Tìm GTNN của biểu thức A=abc

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 4 2020 lúc 19:47

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}+\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{21+2b}+\frac{21}{21+2b}\le\frac{4c}{4c+27}+\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{21+2b}\)

\(\Leftrightarrow2\le\frac{1}{1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{21}{2b}}+\frac{1}{1+\frac{27}{4c}}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{21}{2b};\frac{27}{4c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+x}\ge1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}}\) ; \(\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế: \(1\ge8xyz\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}.\frac{21}{2b}.\frac{27}{4c}\le\frac{1}{8}\Leftrightarrow abc\ge567\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{a}=\frac{21}{2b}=\frac{27}{4c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;21;\frac{27}{2}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Khoa
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Tớ Thích Cậu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Vũ Nguyễn Linh Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Dương Thị Diệu
Xem chi tiết