Question

cho 3 số thỏa mãn \(a+b+c=1\) và \(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =1\)
CM \(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009} =1\)

Answer 1

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{1}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{ac+bc+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac+bc+c^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b;c=1\\b=-c;a=1\\c=-a;b=1\end{matrix}\right.\)

Thay trường hợp nào vào ta cũng được kết quả như bài toán