Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tường Nguyễn Thế

Cho 3 số dương x, y, z thay đổi thoả mãn: \(\sqrt{\dfrac{xy}{z}}+\sqrt{\dfrac{xz}{y}}+\sqrt{\dfrac{yz}{x}}=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Phương An
21 tháng 1 2018 lúc 10:55

Theo giả thiết \(\sqrt{\dfrac{yz}{x}}+\sqrt{\dfrac{xz}{y}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác, ta có bđt phụ: \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có: \(M=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2\times\sqrt{9}+\dfrac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1


Các câu hỏi tương tự
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Đức Anh Lê
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Mạnh Cường
Xem chi tiết
nguyễn cẩm ly
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết