Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Mai Tiến Đỗ

cho 3 số dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng\(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)

( mình chọn chủ đề linh tinh nhá :V vì ko có )

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 6 2020 lúc 17:15

\(\sum\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}\ge0\Leftrightarrow\sum\frac{a\left(3-3b\right)}{1+ab}\ge0\Leftrightarrow\sum\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}\ge0\)

Ta có:

\(VT=\sum\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}=\sum\left(a-\frac{ab\left(1+a\right)}{1+ab}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab\left(1+a\right)}{2\sqrt{ab}}\right)\)

\(VT\ge\sum\left(a-\frac{1}{4}\left(2.1.\sqrt{ab}+2.a.\sqrt{ab}\right)\right)\ge\sum\left(a-\frac{1}{4}\left(1+ab+a^2+ab\right)\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Sương Đặng
Xem chi tiết
tiêu mỹ ly
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Trang
Xem chi tiết
Linh Lê
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Đõ Phương Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Như Quỳnh
Xem chi tiết
địt mẹ mày
Xem chi tiết
Văn Thành Nguyễn
Xem chi tiết