Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\frac{b}{2b+c+a}\leq \frac{b}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)\)
\(\frac{c}{2c+a+b}\leq \frac{c}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)
Cộng theo vế và rút gọn ta được:
\(C\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)
Vậy $C_{\max}=\frac{3}{4}$ khi $a=b=c$
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: abc=1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3abc\) .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(F=\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)
Cho a,b,c là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F=\(\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}\)
Cho \(a,b,c\) là các số dương. Tìm GTLN của biểu thức: \(S=\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\)
Ch a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)
Cho a,b,c >0 và a+b+c =6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ac}{c+3a+2b}\)
Cho các số dương a, b, c. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{2a+b+c}+\frac{\sqrt{ac}}{a+2b+c}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\)
Cho 3 số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn: \(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2019\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
