Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{a}{c}\le2\)
Đồng thời \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\Leftrightarrow ab+bc\ge b^2+ac\) (1)
Chia 2 vế của (1) cho \(bc:\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}\)
Chia 2 vế của (1) cho \(ab\Rightarrow1+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\)
Cộng vế: \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+2\)
Do đó:
\(S=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3\)
\(S\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+5\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=x\Rightarrow1\le x\le2\)
\(S\le2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+5=\dfrac{2x^2-5x+2}{x}+10=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{x}+10\le10\)
\(S_{max}=10\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right);\left(1;2;2\right)\) và các hoán vị
