Question

Cho 2 số không âm x,y sao cho x+y=a=const (a là hằng số có giá trị không đổi). Tìm Giá trị lớn nhất của P=40x+xy

giúp mình gấp với ạ mình cảm ơn nhiều!

Answer 1

Lời giải:

Thay $y=a-x$ vào biểu thức $P$. Vì $x+y=a; x,y\geq 0$ nên $a\geq 0; 0\leq x,y\leq a$

Ta có:$P=40x+x(a-x)=-x^2+(40+a)x$

Nếu $a\geq 40$:

$P=-[x^2-(40+a)x]=(\frac{40+a}{2})^2-[x^2-2.x.\frac{40+a}{2}+(\frac{40+a}{2})^2]=(\frac{40+a}{2})^2-(x-\frac{40+a}{2})^2$

Dễ thấy $(x-\frac{40+a}{2})^2\geq 0$ với mọi $a\leq x\geq 0$

Do đó: $P\leq \left(\frac{40+a}{2})^2$ hay $P_{\max}=\left(\frac{40+a}{2}\right)^2$

Giá trị này đạt đc khi $x=\frac{40+a}{2}, b=\frac{a-40}{2}$

Nếu $a< 40$:

$P=-x^2+(40+a)x=40x-ax+a^2-(x-a)^2$=x(40-a)+a^2-(x-a)^2$

Vì $a< 40; x\leq a\Rightarrow x(40-a)\leq a(40-a)$

$(x-a)^2\geq 0$ với mọi $0\leq x\leq a$. Do đó: $P\leq a(40-a)+a^2=40a$

Vậy $P_{\max}=40a$ khi $x=a; y=0$

Answer 2

Lời giải:

Thay $y=a-x$ vào biểu thức $P$. Vì $x+y=a; x,y\geq 0$ nên $a\geq 0; 0\leq x,y\leq a$

Ta có:$P=40x+x(a-x)=-x^2+(40+a)x$

Nếu $a\geq 40$:

$P=-[x^2-(40+a)x]=(\frac{40+a}{2})^2-[x^2-2.x.\frac{40+a}{2}+(\frac{40+a}{2})^2]=(\frac{40+a}{2})^2-(x-\frac{40+a}{2})^2$

Dễ thấy $(x-\frac{40+a}{2})^2\geq 0$ với mọi $0\leq x\leq a$

Do đó: $P\leq \left(\frac{40+a}{2}\right)^2$ hay $P_{\max}=\left(\frac{40+a}{2}\right)^2$

Giá trị này đạt đc khi $x=\frac{40+a}{2}, b=\frac{a-40}{2}$

Nếu $a< 40$:

$P=-x^2+(40+a)x=40x-ax+a^2-(x-a)^2a=x(40-a)+a^2-(x-a)^2$

Vì $a< 40; x\leq a\Rightarrow x(40-a)\leq a(40-a)$

$(x-a)^2\geq 0$ với mọi $0\leq x\leq a$. Do đó: $P\leq a(40-a)+a^2=40a$

Vậy $P_{\max}=40a$ khi $x=a; y=0$