Question

Cho 2 số không âm a và b thỏa mãn a²+b²=a+b

Tìm GTLN của BT :S = a/a+1 + b/b+1

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab\)

\(\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\)

Mà \(a^2+b^2=a+b\Rightarrow 2(a+b)\geq (a+b)^2\)

\(\Rightarrow a+b\leq 2\)

Lại có:

\(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}\)

\(=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Svac-sơ:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{4}{a+1+b+1}=\frac{4}{a+b+2}\geq \frac{4}{4}=1\) (do \(a+b\leq 2\) )

Do đó:

\(S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\leq 2-1=1\)

Vậy \(S_{\max}=1\Leftrightarrow a=b=1\)