Question

cho 2 số chính phương liên tiếp . CM rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ

Answer 1

Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó lần lượt là \(a^2\) và \(\left(a+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2.\left(a+1\right)^2\)

\(P=a^2+a^2+2a+1+a^2.\left(a^2+2a+1\right)\)

\(P=2a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2\)

\(P=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(P=\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(P=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)

Dễ thấy \(a\left(a+1\right)\) luôn là số chắn \(\Rightarrow a\left(a+1\right)+1\) là số lẻ.

Vậy ...