1.Giải bất phương trình
\(\frac{4x+1}{4\left(2-x\right)}\)≥x+2
2.Cho a,b là các số dương.C/m:
(a+b)(a4+b4)≥(a2+b2)(a3+b3)
3.Chứng minh rằng nếu tích của ba số bằng 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì có một trong ba số đó lớn hơn 1.
Giúp với ạ!
Akai Haruma,tth_new,...
Dragon Home!
Bài 1 :
ĐKXĐ : \(2-x\ne0\)
=> \(x\ne2\)
Ta có :\(\frac{4x+1}{4\left(2-x\right)}\ge x+2\)
=> \(4x+1\ge4\left(x+2\right)\left(2-x\right)\)
=> \(4x+1\ge4\left(4-x^2\right)\)
=> \(4x+1\ge16-4x^2\)
=> \(4x^2+4x-15\ge0\)
=> \(4x^2+10x-6x-15\ge0\)
=> \(4x\left(x-1,5\right)+10\left(x-1,5\right)\ge0\)
=> \(\left(4x+10\right)\left(x-1,5\right)\ge0\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}4x+10\ge0\\x-1,5\ge0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x\ge-\frac{5}{2}\\x\ge\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
=> \(x\ge\frac{3}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là \(S=\left\{x|x\ge\frac{3}{2}\right\}\) .
Bài 2:
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)-\left(a^2+b^3\right)\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a^4+b^4-\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a^4+b^4-a^4+a^3b-a^2b^2-a^2b^2+ab^3-b^4\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3b+ab^3-a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
BĐT luôn đúng vì \(a>0;b>0\) và \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cũng chẳng biết có đánh lộn chỗ nào không nữa. Lần sau chia nhỏ ra.
bài 1 mk làm lại . pn kia lm sai r
bài 1 : đk:\(x\ne2\)
\(\frac{4x+1}{4\left(2-x\right)}\ge x+2\Leftrightarrow\frac{4x+1}{4\left(2-x\right)}-x-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x+1+4x^2-16}{4\left(2-x\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)}{4\left(2-x\right)}\ge0\)
gọi \(f\left(x\right)=\frac{\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)}{4\left(2-x\right)}\)
ta có :
| x | \(-\frac{5}{2}\) | \(\frac{3}{2}\) | 2 | ||||
| 2x-3 | - | - | 0 | + | + | ||
| 2x+5 | - | 0 | + | + | + | ||
| 2-x | + | + | + | 0 | - | ||
| \(f\left(x\right)\) | + | - | + | kxđ | - |
\(\Rightarrow x\le\frac{-5}{2}\) hoặc \(\frac{3}{2}\le x< 2\)
vậy ...
bài 3 :
mình tóm tắc lại bài toán cho dễ hiểu :
đề toán cho : \(abc=1\) ; \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) . cmr: một trong ba số đó lớn hơn 1
bài làm :
ta có : \(a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca>0\)
\(\Leftrightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
rõ ràng phải có ít nhất 1 trong 3 số \(\left(a-1\right);\left(b-1\right);\left(c-1\right)\) lớn hơn không điều này tương đương với đpcm
