Question

cho 2 số a,b bất kì. CMR: a⁴ +b^{4≥\(\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\)}

Answer 1

Trước hết ta chứng minh BĐT: \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

Thật vậy, BĐT tương đương \(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2=\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)