Question

Cho 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c). chứng minh 1/a^n + 1/b^n + 1/c^n = 1(a^n+b^n+c^n). Mọi người giúp mình với ạ

 

Answer 1

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\\ \Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Suy ra:

Trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a=-b

Thay vào ta dễ thấy:

\(\dfrac{1}{a^n}+\dfrac{1}{b^n}+\dfrac{1}{c^n}=\dfrac{1}{a^n+b^n+c^n}\left(=\dfrac{1}{c^n}\right)\) (ĐPCM)