Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Hương

Cho 0<a<1 ; 0<b<2 ; 0<c<3

Tìm GTLN của ; A= \(\dfrac{\sqrt{1-a}}{a}+\dfrac{\sqrt{2-b}}{b}+\dfrac{\sqrt{3-c}}{c}\)

(Bài này dùng Cauchy,mình suy nghĩ nhiều ngày chưa ra cách giải,mong nhận được sự trợ giúp của mọi người và hoc24.vn)

Akai Haruma
11 tháng 4 2018 lúc 21:46

Nếu đổi đề như đã nói phía dưới thì ta làm như sau:

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\sqrt{a-1}=\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{1+(a-1)}{2}=\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)

\(\sqrt{b-2}=\frac{\sqrt{2(b-2)}}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{2+(b-2)}{2}=\frac{b}{2\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{b-2}}{b}\leq \frac{b}{2\sqrt{2}b}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{c-3}=\frac{\sqrt{3(c-3)}}{\sqrt{3}}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3+(c-3)}{2}=\frac{c}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{c-3}}{c}\leq \frac{c}{2\sqrt{3}c}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Cộng theo vế:

\(A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\). Đây chính là GTLN của biểu thức.

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 1=a-1\\ 2=b-2\\ 3=c-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=2; b=4; c=6\)

Akai Haruma
11 tháng 4 2018 lúc 21:19

Nếu bạn đổi \(\sqrt{1-a}\mapsto \sqrt{a-1}; \sqrt{2-b}\mapsto \sqrt{b-2}; \sqrt{3-c}\mapsto \sqrt{c-3}\) thì may ra sẽ có thể tìm max bằng Cauchy

Còn nếu đề bài giữ nguyên như trên, cứ cho \(a\) càng gần 0 thì tử càng to, mẫu càng nhỏ, khi đó giá trị \(\frac{\sqrt{1-a}}{a}\) càng lớn vô cùng. Tương tự với các phân thức còn lại. Khi đó biểu thức không tồn tại GTLN


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết