Câu 1:Cho x,y là các số không âm thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{2x+8\sqrt{x}+17}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{3y+6\sqrt{y}+5}{\sqrt{y}+1}\)
Câu 2:Cho \(x>0,y>0\) và x+y\(\ge\)6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=3x+2y+\(\dfrac{6}{x}\)+\(\dfrac{8}{y}\).
Câu 3:Cho biểu thức P=a4+b4-ab,với a,b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
1.
\(P=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+2\right)^2+9}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{3\left(\sqrt{y}+1\right)^2+2}{\sqrt{y}+1}\)
\(=2\left(\sqrt{x}+2\right)+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}+3\left(\sqrt{y}+1\right)+\dfrac{2}{\sqrt{y}+1}\)
\(=\left(\sqrt{x}+2\right)+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}+2\left(\sqrt{y}+1+\dfrac{1}{\sqrt{y}+1}\right)+\sqrt{x}+\sqrt{y}+3\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}}+2.2\sqrt{\dfrac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1}}+1+3=14\)
\(P_{min}=14\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
2.
\(P=\dfrac{3}{2}\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+\dfrac{1}{2}\left(y+\dfrac{16}{y}\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+\dfrac{1}{2}.2\sqrt{\dfrac{16y}{y}}+\dfrac{1}{2}.6=19\)
\(P_{min}=19\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2;4\right)\)
3.
Ta có: \(3=a^2+b^2+ab\ge2ab+ab=3ab\Rightarrow ab\le1\)
\(3=a^2+b^2+ab\ge-2ab+ab=-ab\Rightarrow ab\ge-3\)
\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)
Từ đó:
\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab\)
\(P=-a^2b^2-7ab+9\)
\(P=-\left(a^2b^2+7ab-8\right)+1=\left(1-ab\right)\left(ab+8\right)+1\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=\pm1\)
\(P=-\left(a^2b^2+7ab+12\right)+21=-\left(ab+3\right)\left(ab+4\right)+21\le21\)
\(P_{max}=21\) khi \(\left(a;b\right)=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right);\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)\)
